Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DF và CD, I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE
a) Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành
b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh tứ giác EIFK là hình chữ nhật
d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông
a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành
b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi
c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật
d) Áp dụng tính chất của hình vuông
a) Ta có:
AE=EB=12AB (do E là trung điểm của AB)
DF=FC=12CD (F là trung điểm của CD)
AB=CD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra AE=CF=EB=DF
Xét tứ giác AECF ta có:
AE // CF (do AB // CD)
AE=CF
Suy ra AECF là hình bình hành
b) Vì AB=2AD (gt) và AB=2AE (do E là trung điểm của AB)
Suy ra AD=AE
Xét tứ giác AEFD có AE // DF và AE=DF (cmt)
Suy ra AEFD là hình bình hành
Mà AE=AD (cmt)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra AEFD là hình thoi
c) Ta có AF⊥DE (do AEFD là hình thoi)
và AF // EC (AECF là hình bình hành)
Suy ra EC⊥DE
Suy ra ^IEK=90∘
Vì AEFD là hình thoi nên EF=AE
Và AE=12AB (gt)
Suy ra EF=12AB
Xét ΔAFB có FE là đường trung tuyến và EF=12AB
Suy ra ΔAFB vuông tại F
Suy ra ^IFK=90
Xét tứ giác EIFK ta có:
^EIF=90 (do AF⊥DE)
^IEK=90∘ (cmt)
^IFK=90∘ (cmt)
Suy ra EIFK là hình chữ nhật
d) EIFK là hình vuông
Suy ra FI=EI
Mà EI=ID=12DE ( do AEFD là hình thoi)
FI=IA=12AF (do AEFD là hình thoi)
Suy ra AF=DE
Mà AEFD là hình thoi
Suy ra AEFD là hình chữ nhật
Suy ra ^ADC=90∘
Mà ABCD là hình bình hành (gt)
Suy ra ABCD là hình chữ nhật
Vậy nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật thì EIFK là hình vuông