Cho hình hình hành ABCD có AD=2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB tại E. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Chứng minh tam giác EMC cân tại M
c) Chứng minh rằng ^BAD=2^AEM
Hướng dẫn:
a) Chứng minh EN=NC=NB=12BC
b) Chứng minh ^AEM=^EMN=^NMC=^MCD=12^NCD
a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi
b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của tam giác cân
a) Ta có:
MN⊥CE (gt)
AB⊥CE (gt)
Suy ra MN // AB
MNMà AB // CD (do ABCD là hình bình hành) nên MN
// CD
Xét tứ giác MNCD ta có:
MN // CD (cmt)
MD // CN (do AD // BC)
Suy ra MNCD là hình bình hành
Lại có:
AD=2AB (gt);
Advertisements (Quảng cáo)
AD=2MD (do M là trung điểm của AD)
AB=CD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra MD=CD
Hình bình hành MNCD có MD=CD (cmt) nên là hình thoi
b) Vì MNCD là hình thoi nên MD=CD=NC=MN=12AD=12BC (do AD=BD)
Do NC=12BC nên N là trung điểm của BC
Xét ΔEBC vuông tại E có EN là trung tuyến nên EN=12BC
Suy ra EN=NB=NC=12BC
Suy ra ΔNEC cân tại N
Mà NF là đường cao (do MF⊥EC)
Suy ra NF cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực của ΔNEC
Suy ra F là trung điểm EC
Xét ΔMEC có MF là đường cao đồng thời là trung tuyến
Suy ra ΔEMC cân tại M
c) Vì AB // MN (cmt)
Suy ra ^AEM=^EMN (so le trong)
Mà ^EMN=^NMC (do MF là phân giác)
^NMC=^MCD (do MN // CD)
Suy ra ^AEM=^MCD
Mà ^MCD=12^BCD (do MNCD là hình thoi)
Và ^BCD=^BAD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra ^AEM=12^BAD
Suy ra ^BAD=2^AEM