Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE=EF=FC. Gọi M là trung điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:
a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB
b) EMFN là hình bình hành
Áp dụng tính chất của hình bình hành
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành
a) Ta có:
AE=EF=FC nên AE=EF=FC=13AC (1)
Vì ABCD là hình bình hành (gt)
Suy ra O là trung điểm của AC hay OA=OC=12AC và AC=2OA=2OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE=EF=FC=23OA=23OC.
Xét ΔBCD có CO là trung tuyến và CF=23CO (cmt)
Suy ra F là trọng tâm của ΔBCD
Suy ra BM là đường trung tuyến của ΔBCD
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra M là trung điểm của CD
Xét ΔABD có AO là trung tuyến và AE=23AO (cmt)
Suy ra E là trọng tâm của ΔABD
Suy ra DN là đường trung tuyến của ΔABD
Suy ra N là trung điểm của AB
b) Do M là trung điểm của CD (câu a) nên MC=MD=12CD.
N là trung điểm của AB (câu a) nên NB=NA=12AB.
Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)
Suy ra NB = MD và NB // MD.
Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD
Do đó BMDN là hình bình hành.
Suy ra BM // DN và BM = DN.
Ta có E là trọng tâm của ΔABD nên EN=13DN.
F là trọng tâm của ΔBCD nên FM=13BM.
Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.
Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)
Suy ra EMFN là hình bình hành.