Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB
a) Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang
b) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật
c) Tia CD cắt AH tại M và cắt BE tại N. Chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình bình hành.
a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thang
b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật
c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành
a) Vì ΔABC cân tại A nên ^ABC=^ACB và AB=AC
Vì ΔABC cân tại A, có AH là trung tuyến (gt)
Suy ra AH là đường cao
Suy ra AH⊥BC
Suy ra ^AHB=^AHC=90∘
Xét ΔAHB vuông tại H ta có: HD là trung tuyến
Suy ra HD=12AB
Mà DA=DB=12AB (do D là trung điểm AB)
Suy ra DA=DB=HD
Suy ra ΔDHB cân tại D
Suy ra ^ABC=^DHB
Mà ^ABC=^ACB (cmt)
Suy ra ^DHB=^ACB
Advertisements (Quảng cáo)
Mà hai góc ở vị trí đồng vị
Suy ra DH // AC
Suy ra ADHC là hình thang
b) Vì E đối xứng với H qua D (gt)
Suy ra D là trung điểm của HE
Xét tứ giác AHBE ta có:
Hai đường chéo HE và AB cắt nhau tại trung điểm D
Suy ra AHBE là hình bình hành
Mà ^AHB=90∘ (cmt)
Suy ra AHBE là hình chữ nhật
c) Vì AHBE là hình chữ nhật (cmt)
Suy ra AH // BE và AH=BE
Xét ΔDEN và ΔDHM ta có:
^NED=^DHM (do BE // AH)
DE=DH (do D là trung điểm của HE)
^EDN=^MDH (đối đỉnh)
Suy ra ΔDEN=ΔDHM (g-c-g)
Suy ra EN=MH (hai cạnh tương ứng)
Mà BE=AH (cmt)
Suy ra BE−EN=AH−MH
Suy ra NB=AM
Mà NB // AM (do EB // AH)
Suy ra AMBN là hình bình hành