Bài 14 trang 86 Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo: Cho tam giác $ABC$nhọn có hai đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng $\Delta AEB\backsim\Delta AFC$...

Cho tam giác $ABC$nhọn có hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng

a) $\Delta AEB\backsim\Delta AFC$.

b) $\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}$.

c) $\Delta HEF\backsim\Delta HCB$

- Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

- Nếu $\Delta ABC\backsim\Delta A’B’C’$ thì $\frac{{AB}}{{A’B’}} = \frac{{AC}}{{A’C’}} = \frac{{BC}}{{B’C’}} = k$.

- Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau.

a) Vì $BE$là đường cao nên $\widehat {AEB} = 90^\circ$; vì $CF$là đường cao nên $\widehat {AFC} = 90^\circ$

Xét tam giác $AEB$ và tam giác $AFC$ có:

$\widehat A$ (chung)

$\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta AEB\backsim\Delta AFC$ (g.g).

b) Vì $\Delta AEB\backsim\Delta AFC$ nên $\widehat {ACF} = \widehat {ABE}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat {ECH} = \widehat {FBH}$.

Xét tam giác $HEC$ và tam giác $HFB$ có:

$\widehat {ECH} = \widehat {FBH}$ (chứng minh trên)

$\widehat {CEH} = \widehat {BFH} = 90^\circ$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta HEC\backsim\Delta HFC$ (g.g).

Suy ra, $\frac{{HE}}{{HF}} = \frac{{HC}}{{HB}}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Hay $\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}$ (điều phải chứng minh).

c) Xét tam giác $HEF$ và tam giác $HCB$ có:

$\widehat {FHE} = \widehat {BHC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HB}}$ (chứng minh trên)

Suy ra, $\Delta HEF\backsim\Delta HCB$ (c.g.c).