Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC). Kẻ đường cao AH(H∈BC).
a) Chứng minh rằng ΔABH∽, suy ra A{B^2} = BH.BC.
b) Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.
c) Chứng minh rằng \Delta AFE\backsim\Delta ABC.
d) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HF tại I. Vẽ IN vuông góc với BC tại N. Chứng minh rằng \Delta HNF\backsim\Delta HIC.
- Nếu một tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
- Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đồng dạng với nhau.
a) Vì AH là đường cao nên \widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ
Xét tam giác ABH và tam giác CBA có:
\widehat B (chung)
\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ (chứng minh trên)
Suy ra, \Delta ABH\backsim\Delta CBA (g.g).
Do đó, \frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{AB}} (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra, A{B^2} = BH.BC .
b)
- Vì HE vuông góc với AB nên \widehat {HEA} = \widehat {HEB} = 90^\circ
Xét tam giác AHE và tam giác ABH có:
\widehat {HAE} (chung)
\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = 90^\circ (chứng minh trên)
Suy ra, \Delta AHE\backsim\Delta ABH (g.g).
Do đó, \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AH}} (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra, A{H^2} = AB.AE . (1)
- Vì HF vuông góc với AC nên \widehat {HFC} = \widehat {HFA} = 90^\circ
Xét tam giác AHF và tam giác ACH có:
\widehat {HAF} (chung)
\widehat {AFH} = \widehat {AHC} = 90^\circ (chứng minh trên)
Suy ra, \Delta AHF\backsim\Delta ACH (g.g).
Do đó, \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AH}} (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)
Suy ra, A{H^2} = AF.AC . (2)
Từ (1) và (2) suy ra, AE.AB = AF.AC (điều phải chứng minh)
c) Vì AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}.
Xét tam giác AFE và tam giác ABC có:
\widehat A (chung)
\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}} (chứng minh trên)
Suy ra, \Delta AFE\backsim\Delta ABC (c.g.c).
d) Vì HF vuông góc với AC nên CF \bot HI, do đó, \widehat {CFH} = \widehat {CFI} = 90^\circ .
Vì IN \bot CH \Rightarrow \widehat {CBI} = \widehat {HNI} = 90^\circ .
Xét tam giác HFC và tam giác HNI có:
\widehat {CHI} (chung)
\widehat {HFC} = \widehat {HNI} = 90^\circ (chứng minh trên)
Suy ra, \Delta HFC\backsim\Delta HNI (g.g).
Suy ra, \frac{{HF}}{{HN}} = \frac{{HC}}{{HI}} (hai cặp cạnh tương ứng cùng tỉ lệ)
Do đó, \frac{{HF}}{{HC}} = \frac{{HN}}{{HI}}.
Xét tam giác HNF và tam giác HIC có:
\widehat {CHI} (chung)
\frac{{HF}}{{HC}} = \frac{{HN}}{{HI}} (chứng minh trên)
Suy ra, \Delta HNF\backsim\Delta HIC (c.g.c).