Bài 2.20 trang 41 Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức: Chứng minh rằng . Áp dụng, tính biết và...

Chứng minh rằng ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)$.

Áp dụng, tính ${a^3} + {b^3}$ biết $a + b = 4$ và $ab = 3$.

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển VP

${\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}$

Sau đó chứng minh VP = VT.

Từ đó, thay dữ kiện đề bài để tính giá trị biểu thức ${a^3} + {b^3}$

$\begin{array}{l}VP = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right) - \left( {3ab.a + 3ab.b} \right)\\ = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2}\\ = {a^3} + {b^3} = VT\end{array}$

Vậy ${a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = {4^3} - 3.3.4 = 28$.