Bài 82 trang 108 Toán 8 tập 1, Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông....

Bài 82. Cho hình 107, trong đó $ABCD$ là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác $EFGH$ là hình vuông.

Các tam giác vuông $AEH, BFE, CGF, DHG$ có:

$AE = BF = CG = DH$ (1) (gt)

Theo giả thiết $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH = BE = CF = DG$

Nên  $∆AEH =  ∆BFE =  ∆CGF =  ∆DHG$ (c.g.c)

Do đó

$HE = EF = FG = GH$ ( các cạnh tương ứng)                    

và $\widehat{EHA}$ = $\widehat{FEB}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Ta có $\widehat{HEF} = 180^0- (\widehat{HEA}$ + $\widehat{FEB})$

                     $= 180^0- (\widehat{HEA}$ + $\widehat{EHA})$

                     $= 180^0- 90^0= 90^0$ (Vì tam giác $AHE$ vuông nên $(\widehat{HEA}$ + $\widehat{EHA})=90^0$)

Tứ giác $EFGH$ có bốn cạnh bằng nhau và một góc vuông nên là hình vuông.