Bài 4 trang 71 vở thực hành Toán 8: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB...

Cho ∆ABC có trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d qua G và song song với AB, d cắt BC tại điểm M. Chứng minh rằng $BM = \frac{1}{3}BC.$

Áp dụng định lý Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cong lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

AG cắt BC tại E.

Ta có GM // AB suy ra $\frac{{BM}}{{BE}} = \frac{{AG}}{{AE}}$ (định lý Thales).

Ta lại có $\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}$ (G là trọng tâm ∆ABC) nên $\frac{{BM}}{{BE}} = \frac{2}{3}.$

Suy ra $BM = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{3}BC.$

AG cắt BC tại E.

Ta có GM // AB suy ra $\frac{{BM}}{{BE}} = \frac{{AG}}{{AE}}$ (định lý Thales).

Ta lại có $\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}$ (G là trọng tâm ∆ABC) nên $\frac{{BM}}{{BE}} = \frac{2}{3}.$

Suy ra $BM = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}BC = \frac{1}{3}BC.$