Bài 8 trang 105 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9...

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) $\frac{B\text{D}}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$, từ đó suy ra $A\text{E}=\frac{AB.AC}{AB+AC}$

b) ΔDFC ∽ ΔABC

c) DF=DB

Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh

a) Hai tam giác vuông HDA (vuông tại D) và AHC (vuông tại H) có: $\widehat{DAH}={{90}^{0}}-\widehat{ACB}=\widehat{HCA}$.

Do đó $\Delta HDA\backsim \Delta AHC$ (cặp góc nhọn).

b) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=41$, hay $BC=\sqrt{41}$ cm.

Mặt khác, trong tam giác vuông ABC với đường cao AH, ta có:

+) $AH.BC=2{{S}_{ABC}}=AB.AC$.

Do đó $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{20}{\sqrt{41}}$ (cm).

+) $A{{B}^{2}}=BH.BC$. Do đó $BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{25}{\sqrt{41}}$ (cm).

+) $A{{C}^{2}}=CH.BC$. Do đó $CH=\frac{A{{C}^{2}}}{BC}=\frac{16}{\sqrt{41}}$ (cm).

+ $HD=\frac{BH.AC}{BC}=\frac{\frac{25}{\sqrt{41}}.4}{\sqrt{41}}=\frac{100}{41}$ (cm).