Bài 9 trang 29 vở thực hành Toán 8: Biết số tự nhiên a chia 3 dưChứng minh rằng ${a^2}$ chia 3 dư 1...

Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng ${a^2}$ chia 3 dư 1.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

Vì a chia 3 dư 2 nên ta có thể viết $a = 3n + 2,n\; \in \;\mathbb{N}$. Ta có

$\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2}\; = {{\left( {3n + 2} \right)}^2}\; = 9{n^2}\; + 12n + 4}\\{ = 9{n^2}\; + 12n + 3 + 1}\\{ = 3.\left( {3{n^2}\; + 4n + 1} \right) + 1.}\end{array}$

Vì $3\; \vdots \;3$ nên tích $3.\left( {3{n^2}\; + 4n + 1} \right)$ chia hết cho 3 và do đó $3.\left( {3{n^2}\; + 4n + 1} \right) + 1$ chia 3 dư 1. Vậy ${a^2}$ chia 3 dư 1.