Câu hỏi/bài tập:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
a) + Chứng minh ^DAH=2^BAH, ^HAE=2^HAC, ^BAH+^HAC=90o suy ra ^DAH+^HAE=180o
Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.
+ Vì D, E thuộc (A; AH) nên AE=AD. Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.
b) + Gọi O là trung điểm của BC.
+ Chứng minh A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.
+ Chứng minh ^HBA=^HAC, ^HAC=^CAE nên ^HBA=^CAE.
+ Chứng minh ^C1=^A1.
+ Chứng minh ^B1+^C1=90o, suy ra ^A2+^A1=90o hay ^OAE=90o, suy ra DE⊥OA tại A, suy ra, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì BC⊥AH tại H nên BC là tiếp tuyến của (A), mà BD là tiếp tuyến của (A) nên AB là phân giác của góc DAH, suy ra ^DAH=2^BAH=2^DAB.
Chứng minh tương tự ta có: ^HAE=2^HAC=2^CAE.
Tam giác ABC vuông tại A nên ^BAH+^HAC=90o.
Ta có: ^DAH+^HAE=2^BAH+2^HAC=2(^BAH+^HAC)=2.90o=180o
Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Vì D, E thuộc (A; AH) nên AE=AD. Do đó, D và E đối xứng với nhau qua A.
b) Gọi O là trung điểm của BC.
Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến nên AO=OB=OC. Do đó, A thuộc đường tròn tâm O, đường kính BC.
Ta có:
^HBA+^C1=^C1+^HAC(=90o) nên ^HBA=^HAC.
Mà ^HAC=^CAE nên ^HBA=^CAE
Vì AO=OC nên tam giác AOC cân tại O, suy ra ^C1=^A1
Tam giác ABC vuông tại A nên ^B1+^C1=90o, suy ra ^A2+^A1=90o hay ^OAE=90o.
Do đó, DE⊥OA tại A.
Do đó, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A.