Bài 5.31 trang 71 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O)...

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng $PO \bot AB$.

b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.

a) + Chứng minh $PA = PB$ và PO là tia phân giác của góc APB.

+ Chứng minh tam giác PAB cân tại P, suy ra PO là đường trung trực của tam giác AP nên $PO \bot AB$.

b) + Chứng minh C thuộc (O).

+ Chứng minh tam giác ABC vuông tại B. Do đó, $BA \bot BC$. Mà $PO \bot AB$(cmt) nên BC//PO.

c) + Chứng minh $PA \bot OA$.

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại tính được PA, suy ra, $PA = PB = 4cm$.

+ Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: $AH \bot OP$ và $AB = 2AH$.

+ $AH.OP = OA.PA\left( { = 2{S_{\Delta AOP}}} \right)$ nên $AH = \frac{{OA.AP}}{{OP}}$ nên tính được AB.

a) Vì PA và PB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P của (O) nên $PA = PB$, PO là tia phân giác của góc APB.

Vì $PA = PB$ nên tam giác PAB cân tại P. Do đó, PO là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác ABP. Suy ra: $PO \bot AB$.

b) Vì C là điểm đối xứng với A qua O nên $OA = OC$. Do đó, C thuộc (O).

Vì $OB = OC = OA = \frac{1}{2}AC$ nên tam giác BAC có trung tuyến BO có độ dài bằng nửa độ dài cạnh AC nên tam giác ABC vuông tại B. Do đó, $BA \bot BC$. Mà $PO \bot AB$(cmt) nên BC//PO.

c) Vì PA tiếp xúc với (O) tại A nên $PA \bot OA$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAP vuông tại A có: $O{A^2} + A{P^2} = O{P^2}$ nên $PA = \sqrt {O{P^2} - O{A^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\left( {cm} \right)$

Do đó, $PA = PB = 4cm$

Gọi H là giao điểm của PO và AB. Theo a ta có: $AH \bot OP$ và $AB = 2AH$.

Ta có: $AH.OP = OA.PA\left( { = 2{S_{\Delta AOP}}} \right)$ nên $AH = \frac{{OA.AP}}{{OP}} = \frac{{3.4}}{5} = 2,4\left( {cm} \right)$.

Do đó, $AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8\left( {cm} \right)$.