Bài 5.7 trang 59 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B...

Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$.

a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng $AH < AB < AE$.

a) + Chứng minh $\Delta OAB = \Delta OAC\left( {c.c.c} \right)$. Suy ra $\widehat {AOB} = \widehat {AOC}$, suy ra $\overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$

+ Mà $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$. Suy ra: sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}$.

+ Vì $sđ\overset\frown{ABE}+sđ\overset\frown{ACE}={{360}^{o}}$ nên sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}=\frac{{{360}^{o}}}{2}={{180}^{o}}$, suy ra ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) + Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên $AB < AE$.

+ Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, $AH < AB$.

+ Vậy $AH < AB < AE$.

a) Tam giác OAB và tam giác OAC có: OA chung, $AB = AC,OB = OC$ nên $\Delta OAB = \Delta OAC\left( {c.c.c} \right)$.

Suy ra $\widehat {AOB} = \widehat {AOC}$.

Mà AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB, AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC. Do đó, $\overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$

Theo giả thiết, $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$. Do đó, sđ$\overset\frown{AB}+sđ\overset\frown{BE}=sđ\overset\frown{EC}+sđ\overset\frown{AC}$

Suy ra: sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}$. Mà $sđ\overset\frown{ABE}+sđ\overset\frown{ACE}={{360}^{o}}$ nên sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}=\frac{{{360}^{o}}}{2}={{180}^{o}}$

Do đó, cung ABE là nửa đường tròn. Vậy ba điểm A, O, E thẳng hàng.

b) Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên $AB < AE$.

Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, $AH < AB$.

Vậy $AH < AB < AE$.