Câu hỏi/bài tập:
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) \(\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)x + 1 = 0\);
b) \(3{x^2} + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)x - 4 + \sqrt 5 = 0\);
c) \(2{x^2} - 3\sqrt 5 x + 5 = 0\), biết rằng phương trình có một nghiệm là \(x = \sqrt 5 \).
Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).
Nếu \(a + b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}\).
Nếu \(a - b + c = 0\) thì phương trình có một nghiệm là \({x_1} = - 1\), còn nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}\).
a) Ta có: \(\sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 + 1} \right) + 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
b) Ta có: \(3 - \sqrt 5 + 1 - 4 + \sqrt 5 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 4 + \sqrt 5 } \right)}}{3} = \frac{{4 - \sqrt 5 }}{3}\).
c) Gọi \({x_2}\) là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: \(\sqrt 5 .{x_2} = \frac{5}{2}\),
suy ra, \({x_2} = \frac{5}{2}:\sqrt 5 = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \sqrt 5 ;{x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).