Bài 6.18 trang 13 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 2: Tìm hai số u và v, biết: u + v = 17, uv = 72; u^2 + v^2 = 73...

Tìm hai số u và v, biết:

a) $u + v = 17,uv = 72$;

b) ${u^2} + {v^2} = 73,uv = 24$.

+ Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (điều kiện ${S^2} - 4P \ge 0$), với S là tổng của hai số, P là tích của hai số.

+ Tính nghiệm của phương trình dựa vào công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn).

a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 17x + 72 = 0$

Ta có: $\Delta = {\left( { - 17} \right)^2} - 4.1.72 = 1 > 0,\sqrt \Delta = 1$

Suy ra phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = \frac{{17 + 1}}{2} = 9;{x_2} = \frac{{17 - 1}}{2} = 8$.

Vậy $\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)$ hoặc $\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)$.

b) Ta có: ${u^2} + {v^2} = 73$ nên ${u^2} + 2uv + {v^2} - 2uv = 73$, suy ra ${\left( {u + v} \right)^2} - 2.24 = 73$, suy ra ${\left( {u + v} \right)^2} = 121$. Do đó, $u + v = 11$ hoặc $u + v = - 11$.

TH1: $u + v = 11$, $uv = 24$

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 11x + 24 = 0$.

Ta có: $\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.24 = 25$ nên phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = \frac{{11 + \sqrt {25} }}{2} = 8;{x_2} = \frac{{11 - \sqrt {25} }}{2} = 3$

TH2: $u + v = - 11$, $uv = 24$

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình ${x^2} + 11x + 24 = 0$.

Vì $\Delta = {11^2} - 4.1.24 = 25$ nên phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{2} = - 3;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{2} = - 8$

Vậy $\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {8;3} \right);\left( {3;8} \right);\left( { - 8; - 3} \right);\left( { - 3; - 8} \right)} \right\}$.