Câu hỏi/bài tập:
Tìm hai số u và v, biết:
a) \(u + v = 17,uv = 72\);
b) \({u^2} + {v^2} = 73,uv = 24\).
+ Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) (điều kiện \({S^2} - 4P \ge 0\)), với S là tổng của hai số, P là tích của hai số.
+ Tính nghiệm của phương trình dựa vào công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn).
a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 17x + 72 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 17} \right)^2} - 4.1.72 = 1 > 0,\sqrt \Delta = 1\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{17 + 1}}{2} = 9;{x_2} = \frac{{17 - 1}}{2} = 8\).
Vậy \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)\) hoặc \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;9} \right)\).
b) Ta có: \({u^2} + {v^2} = 73\) nên \({u^2} + 2uv + {v^2} - 2uv = 73\), suy ra \({\left( {u + v} \right)^2} - 2.24 = 73\), suy ra \({\left( {u + v} \right)^2} = 121\). Do đó, \(u + v = 11\) hoặc \(u + v = - 11\).
TH1: \(u + v = 11\), \(uv = 24\)
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 11x + 24 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.24 = 25\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{11 + \sqrt {25} }}{2} = 8;{x_2} = \frac{{11 - \sqrt {25} }}{2} = 3\)
TH2: \(u + v = - 11\), \(uv = 24\)
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} + 11x + 24 = 0\).
Vì \(\Delta = {11^2} - 4.1.24 = 25\) nên phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{2} = - 3;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{2} = - 8\)
Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {8;3} \right);\left( {3;8} \right);\left( { - 8; - 3} \right);\left( { - 3; - 8} \right)} \right\}\).