Bài 6.21 trang 13 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 2: Giả sử phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 a \ne 0 có hai nghiệm...

Giả sử phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm là ${x_1}$, ${x_2}$ đều khác 0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{{{x_1}}}$ và $\frac{1}{{{x_2}}}$.

+ Viết định lí Viète để tính ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$.

+ Tính $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\frac{1}{{{x_1}}}.\frac{1}{{{x_2}}}$

+ $\frac{1}{{{x_1}}}$ và $\frac{1}{{{x_2}}}$ là nghiệm của phương trình:

${y^2} - \left( {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right)y + \left( {\frac{1}{{{x_1}}}.\frac{1}{{{x_2}}}} \right) = 0$ với $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}};\frac{1}{{{x_1}}}.\frac{1}{{{x_2}}}$ đã tính được ở trên.

Theo định lí Viète ta có ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$.

Ta có:

$\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{\frac{{ - b}}{a}}}{{\frac{c}{a}}} = \frac{{ - b}}{c};\\\frac{1}{{{x_1}}}.\frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{1}{{\frac{c}{a}}} = \frac{a}{c}.$

Do đó, $\frac{1}{{{x_1}}}$ và $\frac{1}{{{x_2}}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${y^2} + \frac{b}{c}y + \frac{a}{c} = 0$ hay $c{y^2} + by + a = 0$.