Bài 6.22 trang 14 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x_1...

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là ${x_1}$, ${x_2}$ thì đa thức $a{x^2} + bx + c$ được phân tích được thành nhân tử như sau: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $2{x^2} - 9x + 7$; $4{x^2} + \left( {\sqrt 2 - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2$.

- Chứng minh:

+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$

+ Biến đổi $a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}$

+ Thay ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$ vào đa thức $a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}$ ta được điều phải chứng minh.

Áp dụng: + Tìm nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$

+ Phân tích đa thức dưới dạng:

$a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

Với ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$, theo định lí Viète ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$. Do đó:

$a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \\= a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} - a.\frac{{ - b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Vì $2 - 9 + 7 = 0$ nên phương trình $2{x^2} - 9x + 7 = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = \frac{7}{2}$

nên $2{x^2} - 9x + 7 = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{2}} \right)$

b) Vì $4 - \left( {\sqrt 2 - 3} \right) - 7 + \sqrt 2 = 0$ nên phương trình $4{x^2} + \left( {\sqrt 2 - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2 = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{7 - \sqrt 2 }}{4}$

nên $4{x^2} + \left( {\sqrt 2 - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2$ $= 4\left( {x + 1} \right)\left( {x + \frac{{\sqrt 2 - 7}}{4}} \right).$