Câu hỏi/bài tập:
Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\), \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử như sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).
Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: \(2{x^2} - 9x + 7\); \(4{x^2} + \left( {\sqrt 2 - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2 \).
- Chứng minh:
+ Viết định lí Viète để tính tổng và tích các nghiệm: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)
+ Biến đổi \(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)
+ Thay \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\) vào đa thức \(a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta được điều phải chứng minh.
Áp dụng: + Tìm nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)
+ Phân tích đa thức dưới dạng:
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)
Với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\), theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\). Do đó:
\(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \\= a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} - a.\frac{{ - b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.\)
Đó là điều phải chứng minh.
Áp dụng:
a) Vì \(2 - 9 + 7 = 0\) nên phương trình \(2{x^2} - 9x + 7 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{7}{2}\)
nên \(2{x^2} - 9x + 7 = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - \frac{7}{2}} \right)\)
b) Vì \(4 - \left( {\sqrt 2 - 3} \right) - 7 + \sqrt 2 = 0\) nên phương trình \(4{x^2} + \left( {\sqrt 2 - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{7 - \sqrt 2 }}{4}\)
nên \(4{x^2} + \left( {\sqrt 2 - 3} \right)x - 7 + \sqrt 2\) \( = 4\left( {x + 1} \right)\left( {x + \frac{{\sqrt 2 - 7}}{4}} \right).\)