Câu hỏi/bài tập:
Cho phương trình: \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\).
a) Giải phương trình với \(m = 1\).
b) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho là phương trình bậc hai.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho:
- Có hai nghiệm phân biệt;
- Có nghiệm kép;
- Vô nghiệm.
a) Thay \(m = 1\) vào phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\), từ đó thu được phương trình ẩn x, giải phương trình đó ta thu được nghiệm của phương trình.
b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) là phương trình bậc hai một ẩn.
c) Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\). Tính biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
+ Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\).
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\).
+ Nếu \(\Delta < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
\(\left( {m + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\) (1)
a)Với \(m = 1\) vào phương trình (1) ta có: \(\left( {1 + 1} \right){x^2} - 3x + 1 = 0\), suy ra \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\).
Vì \(2 - 3 + 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{1}{2}\).
b) Để phương trình (1) là phương trình bậc hai thì \(m + 1 \ne 0\), suy ra \(m \ne - 1\).
c) Với \(m = - 1\) phương trình (1) trở thành: \( - 3x + 1 = 0\), suy ra \(x = \frac{1}{3}\).
Với \(m \ne - 1\):
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( {m + 1} \right) = 5 - 4m\)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\), suy ra \(5 - 4m > 0\), suy ra \(m < \frac{5}{4}\).
Phương trình (1) có nghiệm kép khi \(\Delta = 0\), suy ra \(5 - 4m = 0\), suy ra \(m = \frac{5}{4}\).
Phương trình (1) vô nghiệm khi \(\Delta < 0\), suy ra \(5 - 4m \frac{5}{4}\).
Vậy với \(m \frac{5}{4}\) thì phương trình đã cho có vô nghiệm.