Bài 6.35 trang 20 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 2: Tìm hai số u và v, biết: u - v = 2, uv = 255; u^2 + v^2 = 346...

Tìm hai số u và v, biết:

a) $u - v = 2,uv = 255$;

b) ${u^2} + {v^2} = 346,uv = 165$.

a) + Từ $u - v = 2$ ta có: $u = 2 + v$.

+ Thay $u = 2 + v$ vào $uv = 255$ được phương trình $\left( {2 + v} \right)v = 255$ hay ${v^2} + 2v - 255 = 0$

+ Tính v của phương trình dựa vào công thức nghiệm thu gọn, từ đó tính được u.

b) + Ta có: ${\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2}$. Từ đó tính được $u + v$.

+ Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$ (điều kiện ${S^2} - 4P \ge 0$).

a) Từ $u - v = 2$ ta có: $u = 2 + v$.

Thay $u = 2 + v$ vào $uv = 255$ ta nhận được phương trình $\left( {2 + v} \right)v = 255$, hay ${v^2} + 2v - 255 = 0$.

Ta có: $\Delta ‘ = {1^2} - 1.\left( { - 255} \right) = 256 > 0,\sqrt \Delta = 16$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm: ${v_1} = \frac{{ - 1 + 16}}{1} = 15;{v_2} = \frac{{ - 1 - 16}}{1} = - 17$.

Vậy cặp số (u; v) cần tìm là $\left( {17;15} \right)$ hoặc $\left( { - 15; - 17} \right)$.

b) Ta có: ${\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2} = 346 + 2.165 = 676$. Do đó, $u + v = 26$ hoặc $u + v = - 26$.

Nếu $u + v = 26$ thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 26x + 165 = 0$.

Ta lại có: $\Delta ‘ = {\left( { - 13} \right)^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta = 2$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{13 + 2}}{1} = 15;{x_2} = \frac{{13 - 2}}{1} = 11$.

Nếu $u + v = - 26$ hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - \left( { - 26} \right)x + 165 = 0$.

Ta có: $\Delta ‘ = {13^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta = 2$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 13 + 2}}{1} = - 11;{x_2} = \frac{{ - 13 - 2}}{1} = - 15$.

Vậy $\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {11;15} \right);\left( {15;11} \right);\left( { - 15; - 11} \right);\left( { - 11; - 15} \right)} \right\}.$