Câu hỏi/bài tập:
Tìm hai số u và v, biết:
a) \(u - v = 2,uv = 255\);
b) \({u^2} + {v^2} = 346,uv = 165\).
a) + Từ \(u - v = 2\) ta có: \(u = 2 + v\).
+ Thay \(u = 2 + v\) vào \(uv = 255\) được phương trình \(\left( {2 + v} \right)v = 255\) hay \({v^2} + 2v - 255 = 0\)
+ Tính v của phương trình dựa vào công thức nghiệm thu gọn, từ đó tính được u.
b) + Ta có: \({\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2}\). Từ đó tính được \(u + v\).
+ Hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) (điều kiện \({S^2} - 4P \ge 0\)).
a) Từ \(u - v = 2\) ta có: \(u = 2 + v\).
Thay \(u = 2 + v\) vào \(uv = 255\) ta nhận được phương trình \(\left( {2 + v} \right)v = 255\), hay \({v^2} + 2v - 255 = 0\).
Ta có: \(\Delta ‘ = {1^2} - 1.\left( { - 255} \right) = 256 > 0,\sqrt \Delta = 16\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm: \({v_1} = \frac{{ - 1 + 16}}{1} = 15;{v_2} = \frac{{ - 1 - 16}}{1} = - 17\).
Vậy cặp số (u; v) cần tìm là \(\left( {17;15} \right)\) hoặc \(\left( { - 15; - 17} \right)\).
b) Ta có: \({\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2} = 346 + 2.165 = 676\). Do đó, \(u + v = 26\) hoặc \(u + v = - 26\).
Nếu \(u + v = 26\) thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 26x + 165 = 0\).
Ta lại có: \(\Delta ‘ = {\left( { - 13} \right)^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta = 2\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{13 + 2}}{1} = 15;{x_2} = \frac{{13 - 2}}{1} = 11\).
Nếu \(u + v = - 26\) hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - \left( { - 26} \right)x + 165 = 0\).
Ta có: \(\Delta ‘ = {13^2} - 1.165 = 4 > 0,\sqrt \Delta = 2\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 13 + 2}}{1} = - 11;{x_2} = \frac{{ - 13 - 2}}{1} = - 15\).
Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {11;15} \right);\left( {15;11} \right);\left( { - 15; - 11} \right);\left( { - 11; - 15} \right)} \right\}.\)