Câu 12 trang 158 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O)....

Câu 12 trang 158 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.

a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O)?

b) Tính số đo góc ACD.

c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O).

Gợi ý làm bài

Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O  thuộc AD.

Suy ra AD là đường kính của (O).

b) Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra $\widehat {ACD} = 90^\circ$

c) Ta có: 

$\eqalign{ & AH \bot BC \cr & \Rightarrow HB = HC = {{BC} \over 2} = {{24} \over 2} = 12\,(cm) \cr}$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH ta có:

$A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$

Suy ra:

$\eqalign{ & A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} \cr & = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \cr}$

$AH = 16\,(cm)$

Tam giác ACD vuông tại C theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$\eqalign{ & A{C^2} = AH.AD \cr & \Rightarrow AD = {{A{C^2}} \over {AH}} = {{{{20}^2}} \over {16}} = 25\,(cm) \cr}$

Vậy bán kính của đường tròn (O) là : 

$R = {{AD} \over 2} = {{25} \over 2} = 12,5\,(cm)$