Câu 15 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Chứng minh:

a) $9 + 4\sqrt 5  = {\left( {\sqrt 5  + 2} \right)^2}$;

b) $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5  =  - 2$;

c) ${\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = 23 - 8\sqrt 7$;

d) $\sqrt {23 + 8\sqrt 7 }  - \sqrt 7  = 4.$

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

VT = $\eqalign{ & 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr & = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

VT = $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }  - \sqrt 5  = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5  + 4}  - \sqrt 5$

$\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} - \sqrt 5 \cr & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 \cr}$

$\left| {\sqrt 5  - 2} \right| - \sqrt 5  = \sqrt 5  - 2 - \sqrt 5  =  - 2$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

c) Ta có:

VT = $\eqalign{ & {\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = {4^2} - 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr & = 16 - 8\sqrt 7 + 7 = 23 - 8\sqrt 7 \cr}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

d) Ta có:

VT = $\eqalign{ & \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 \cr & = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 \cr}$

= $\eqalign{ & \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr & = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr}$

= $\left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7  = 4 + \sqrt 7  - \sqrt 7  = 4$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.