Câu 20 trang 8 SBT Toán 9 Tập 1 So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ...

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) $6 + 2\sqrt 2$ và 9;

b) $\sqrt 2  + \sqrt 3$ và 3;

c) $9 + 4\sqrt 5$ và 16;

d) $\sqrt {11}  - \sqrt 3$ và 2.

Gợi ý làm bài

a) $6 + 2\sqrt 2$ và 9

Ta có : 9 = 6 + 3

So sánh: $2\sqrt 2$ và 3 vì  $2\sqrt 2$ > 0 và 3 > 0

Ta có: ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8$

${3^2} = 9$

Vì 8 < 9 nên ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2  < 3$

Vậy $6 + 2\sqrt 2  < 9.$

b) $\sqrt 2  + \sqrt 3$ và 3

Ta có: 

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr & = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr}$

${3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2$

So sánh: $\sqrt 2 .\sqrt 3$ và 2

Ta có:  

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 2.3 = 6 \cr}$

${2^2} = 4$

Vì 6 > 4 nên ${\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}$

Suy ra: 

$\eqalign{ & \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr & \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr & \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr}$

$\eqalign{ & \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr}$

Vậy $\sqrt 2  + \sqrt 3  > 3$

c) $9 + 4\sqrt 5$ và 16

So sánh $4\sqrt 5$ và 5

Ta có: $16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16}  > \sqrt 5  \Rightarrow 4 > \sqrt 5$

Vì $\sqrt 5  > 0$ nên:

$\eqalign{ & 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr & \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr}$

Vậy $9 + 4\sqrt 5  > 16$.

d) $\sqrt {11}  - \sqrt 3$ và 2

Vì $\sqrt {11}  > \sqrt 3$ nên $\sqrt {11}  - \sqrt 3  > 0$

Ta có:

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr & = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr}$

So sánh 10 và $2.\sqrt {11} .\sqrt 3$ hay so sánh giữa 5 và $\sqrt {11} .\sqrt 3$

Ta có: ${5^2} = 25$

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11.3 = 33 \cr}$

Vì 25 < 33 nên ${5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}$

Suy ra : $5 < \sqrt {11} .\sqrt 3  \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3$

Suy ra : $\eqalign{ & 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr}$

Vậy $\sqrt {11}  - \sqrt 3  < 2$