Câu 5.1, 5.2 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh góc ANB = góc BCI....

Câu 5.1 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. E và F là hai điểm bất kỳ trên dây AB. Gọi C và D tương ứng là giao điểm của ME, MF của đường tròn (O). Chứng minh $\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = {180^0}$.

Giải

Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ $\overparen{AB}$

$\Rightarrow$ sđ $\overparen{MA}$ = sđ $\overparen{MB}$                  (1)

$\widehat D = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{MAC}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow$ $\widehat D = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{MA}$ + sđ $\overparen{AC}$)   (2)

$\widehat{AEC}  = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{MB}$ + sđ $\overparen{AC}$) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)                            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\widehat D = \widehat {AEC}$

$\widehat {AEC} + \widehat {CEF} = 180^\circ$ (kề bù)

$\Rightarrow$$\widehat D + \widehat {CEF} = 180^\circ$                                (4)

Trong tứ giác CEFD ta có:

$\widehat {CEF} + \widehat D + \widehat {ECD} + \widehat {EFD} = 360^\circ$ (tổng các góc trong tứ giác)  (5)

Từ (4) và (5) suy ra: $\widehat {ECD} + \widehat {EFD} = 180^\circ$

Câu 5.2 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy 3 điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho

AB = BC = CA. Gọi I là điểm bất kỳ của cung nhỏ BC (và I không trùng với B, C).

Gọi M là giao điểm của CI và AB. Gọi N là giao điểm của BI và AC. Chứng minh:

a) $\widehat {ANB} = \widehat {BCI}$

b) $\widehat {AMC} = \widehat {CBI}$

Giải

AB = AC = BC (gt)

Suy ra các cung nhỏ $\overparen{AB}$ = $\overparen{AC}$ = $\overparen{BC}$   (1)

a) $\widehat {BCI} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{BI}$ (tính chất góc nội tiếp)

hay $\widehat {BCI} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{BC}$- sđ $\overparen{CI}$)                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {BCI} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{AB}$- sđ $\overparen{CI}$      (3)

$\widehat {ANB} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{AB}$- sđ $\overparen{CI}$) (tính chất góc có ở đỉnh ở ngoài đường tròn)                                                                                       (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat {ANB} = \widehat {BCI}$

b) $\widehat {CBI} = {1 \over 2}$ sđ $\overparen{CI}$(tính chất góc nội tiếp)

Hay $\widehat {CBI} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{BC}$- sđ $\overparen{BI}$)    (5)

Từ (1) và (5) suy ra: $\widehat {CBI} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{AC}$- sđ $\overparen{BI}$)           (6)

$\widehat {AMC} = {1 \over 2}$ (sđ $\overparen{AC}$- sđ $\overparen{BI}$) (tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)                                                                                   (7)

Từ (6) và (7) suy ra: $\widehat {AMC} = \widehat {CBI}$.