Câu 63* trang 166 SBT Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC...

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng:

${S_{ABC}} = BD.DC$

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường

 tròn với AB và AC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

  AE = AF

  BE = BD

  CD = CF

  BD = BC + CD

  BE = AB – AE

Suy ra: BD + BE = AB + BC – (AE + CD )

                             = AB + BC – (AE + CE)

                             = AB + BC – AC

Suy ra: $BD = {{AB + BC - AC} \over 2}$

Lại có: CD = BC – BD

            CF = AC = AF

Suy ra: CD + CF = BC + AC – ( BD + AF)

                             = BC + AC – (BE + AE)

                             = BC + AC – BA

Suy ra: $CD = {{BC + AC - AB} \over 2}$

Ta có:  $BD.CD = {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}$

      $= {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}$

      $={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4} = {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}$                    (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

            BC² = AB² + AC²           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $BD.CD = {{2AB.AC} \over 4} = {{AB.AC} \over 2}$

Mà ${S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC$

Vậy ${S_{ABC}} = BD.DC.$