Câu 78 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2:Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với cạnh...

Cho tam giác AHB có $\widehat H = 90^\circ ,\widehat A = 30^\circ$ và BH = 4cm. Tia phân giác của góc B cắt AH tại O. Vẽ đường tròn (O; OH) và đường tròn (O; OA).

a) Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với cạnh AB.

b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.

Giải

a) Kẻ $OK \bot AB$

BO là đường phân giác của $\widehat B$

$\Rightarrow OK = OH$ (tính chất đường phân giác)

Vậy đường tròn (O; OH) tiếp xúc với AB tại K.

b) ∆AHB có $\widehat H = {90^0}$; $\widehat A = {30^0}$

Suy ra: $\widehat B = {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} = {1 \over 2}\widehat B = {30^0}$

Suy ra: ∆OAB cân tại O nên OB = OA

Vậy B  (O; OA)

∆BHO có $\widehat H = {90^0}$; $\widehat {OBH} = {30^0}$

$OH = BH.\tan {30^0} = 4.{{\sqrt 3 } \over 3} = {{4\sqrt 3 } \over 3}$ (cm)

$OB = {{BH} \over {\cos \widehat {OBH}}} = {4 \over {\cos {{30}^0}}} = {4 \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{8\sqrt 3 } \over 3}$ (cm)

Diện tích đường tròn nhỏ: S₁ = $\pi {\left( {{{4\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{16\pi } \over 3}$  (cm²)

Diện tích đường tròn lớn: ${S_2} = \pi {\left( {{{8\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {{64\pi } \over 3}$  (cm²)

Diện tích hình vành khăn:

S = ${S_2} - {S_1} = {{64\pi } \over 3} - {{16\pi } \over 3} = {{48\pi } \over 3} = 16\pi$ (cm²)