Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = CD. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB (E và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)
a) Tìm quỹ tích điểm D
b) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính AB và AE.
Giải
a) Chứng minh thuận
Nối DE. Xét ∆ABC và ∆AED:
AB = AE (gt)
AD = BC (gt)
^EAD=^ABC (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)
Suy ra: ∆ABC = ∆EAD (c.g.c) ⇒^EAD=^ACB
Mà ^ACB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒^EDA=900
Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì điểm D luôn nhìn đoạn AE cố định dưới một góc bằng 900, nên điểm D nằm trên nửa đường tròn đường kính AE nằm trong nửa mặt phẳng bờ AE chứa nửa đường tròn đường kính AB.
Chứng minh đảo:
Trên nửa đường tròn đường kính AE lấy điểm D’ bất kỳ, đường thẳng AD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’. Nối ED’, BC’.
Xét ∆AD’E và ∆BC’A:
^D′=^C′=900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Advertisements (Quảng cáo)
AE = AB (gt)
^EAD=^ABC′ (2 góc cùng phụ ^C′AB)
Suy ra: ∆AD’E = ∆BC’A (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒AD′=BC′
Vậy khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB thì quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE.
b) Gọi tâm hai nửa đường tròn đường kính AB và AE lần lượt là O và O’, giao điểm thứ hai của hai đường tròn là M
Ta có: OA = OM = O’A = O’M (vì AB = AE)
ˆA=900
Vậy tứ giác AOMO’ là hình vuông
Diện tích phần chung của hai nửa hình tròn bằng diện tích hai quạt tròn có cung AmM⏜ trừ đi diện tích hình vuông
Diện tích hình quạt tròn AOM bằng:
{{\pi {{\left( {{{AB} \over 2}} \right)}^2}.90} \over {360}} = {{\pi A{B^2}} \over {16}}
Diện tích của hình vuông AOMO’ bằng:
{\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} = {{A{B^2}} \over 4}
Diện tích phần chung bằng:
2.{{\pi A{B^2}} \over {16}} - {{A{B^2}} \over 4} = {{\pi A{B^2}} \over 8} - {{2A{B^2}} \over 8}
= {{A{B^2}} \over 8}\left( {\pi - 2} \right) (đơn vị diện tích)