Câu III.1, III.2 trang 114, 115 SBT Toán lớp 9 Tập 2: Chứng minh: MNT là tam giác đều....

Câu III.1 Trang 114 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a. Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính a. Kẻ các đường kính ABE và ADF. Trên cung nhỏ CE của đường tròn tâm B lấy điểm M (không trùng với E và C). Đường thẳn CM cắt đường tròn tâm D tại điểm thứ hai là N. Hai đường thẳng EM và NF cắt nhau tại điểm T. Gọi H là giao điểm của AT và MN.

Chứng minh:

a) MNT là tam giác đều.

b) AT = 4AH.

Giải

a) Trong đường tròn (B) ta có:

$\widehat {AMC} = {1 \over 2}\widehat {ABC}$ (hệ quả góc nội tiếp) mà $\widehat {ABC} = 60^\circ$ (vì ∆ABC đều)

$\Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ$

$\widehat {AME} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (B))

$\Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ$

$\widehat {TMN} = \widehat {AMT} - \widehat {AMC} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$

Trong đường tròn (D) ta có:

$\widehat {ANC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}$ (Hệ quả góc nội tiếp) mà $\widehat {ADC} = 60^\circ$ (vì ∆ADC đều) $\Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ$

$\widehat {ANF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (D))

$\Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ  - \widehat {ANC} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$ hay $\widehat {MNT} = 60^\circ$

Vậy ∆TMN đều.

b) $\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ$

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A $\Rightarrow$ AM = AN nên A nằm trên đường trung trực MN ∆TMN đều

$\Rightarrow$ TM = TN nên T nằm trên đường trung trực MN

Suy ra AT là đường trung trực của MN nên AT ⊥ MN

∆AHM có $\widehat {AHM} = 90^\circ$

$AM = {{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }} = {{AH} \over {{1 \over 2}}} = 2AH$              (1)

TH ⊥ MN nên TH là đường phân giác của $\widehat T$ nên $\widehat {MTA} = 30^\circ$

∆AMT có $\widehat {AMT} = 90^\circ$

$AT = {{AT} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {{AM} \over {{1 \over 2}}} = 2AM$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AT = 4AH

Câu III.2 trang 115 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó.    Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cắt tuyến MCD với đường tròn (O), trong đó điểm C ở giữa hai điểm M, D. Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với OA cắt AB tại H. Gọi I là trung điểm của dây CD. Chứng minh HI song song với AD.

Giải

MA ⊥ OA (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ$

MB ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ$

IC = ID (gt)

$\Rightarrow$ OI ⊥ CD (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây)

$\Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ$

A, B, I nhìn MO cố định dưới một góc bằng 90º nên A, B, I nằm trên đường tròn bán kính MO.

$\Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {ABI}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ AOI)

           CH ⊥ $\overparen{AO}$ (gt)

Suy ra: CH // MA

$\widehat {AMI} = \widehat {HCI}$ (hai góc đồng vị)

Suy ra: $\widehat {HCI} = \widehat {ABI}$ hay $\widehat {HCI} = \widehat {HBI}$

B và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường HI tạo với HI một góc bằng nhau nên tứ giác BCHI nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {CBH} = \widehat {CIH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{CH}$) hay $\widehat {CBA} = \widehat {CIH}$                                                                                     (1)

Trong đường tròn (O) ta có:

$\widehat {CBA} = \widehat {CDA}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{AC}$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {CIH} = \widehat {CDA}$ nên HI // AD (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

(Trường hợp cát tuyến đi qua tâm ngũ giác MAOIB suy biến thành tứ giác MAOB chứng minh tương tự ta có HO // AD).