Câu 86 trang 19 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Cho biểu thức:

$Q = \left( {{1 \over {\sqrt a  - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  - 2}} - {{\sqrt a  + 2} \over {\sqrt a  - 1}}} \right)$

a) Rút gọn Q với $a > 0,a \ne 4$ và $a \ne 1$.

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

$Q = \left( {{1 \over {\sqrt a  - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  - 2}} - {{\sqrt a  + 2} \over {\sqrt a  - 1}}} \right)$

$= {{\sqrt a  - \left( {\sqrt a  - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right) - \left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}$

$= {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:{{a - 1 - 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}$

$= {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt {a - 1} } \right)} \over 3}$

$= {{\sqrt a  - 2} \over {3\sqrt a }}$ (với $a > 0,a \ne 4$ và $a \ne 1$)

b) Ta có: $a \ge 0$ nên $\sqrt a  > 0$

Khi đó: $Q = {{\sqrt a  - 2} \over {3\sqrt a }}$ dương khi $\sqrt a  - 2 > 0$

Ta có: $\sqrt a  - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > 2 \Leftrightarrow a > 4$

Vậy khi a>4 thì Q>0