Câu 87 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng...

Với ba số  a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

$a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên  và $\sqrt c$ tồn tại.

Ta có: ${\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{ & a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr & \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr}$

${\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{ & b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr & \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr}$

${\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{ & c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr & \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr}$

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

${{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$

$\Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$

- Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

$a + b + c + d \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {da}$

- Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

$a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {de}  + \sqrt {ea}$