Câu 82 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức...

a) Chứng mình:

${x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ${x^2} + x\sqrt 3  + 1$. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

${x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}$

$\eqalign{ & = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr & = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr}$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

${x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$

Vì ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0$ với mọi x nên ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}$

Giá trị biểu thức ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}$ bằng ${1 \over 4}$ khi ${\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0$

Suy ra: $x =  - {{\sqrt 3 } \over 2}.$