Câu 9 trang 6 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh...

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :

a) Nếu a<b thì \(\sqrt a  < \sqrt b \);

b) Nếu \(\sqrt a  < \sqrt b \) thì a<b.

Gợi ý làm bài

a) \(a \ge 0;b \ge 0\) và \(a < b \Rightarrow b > 0\)

Ta có: \(\sqrt a  \ge 0;\sqrt b  > 0\)

Suy ra: \(\sqrt a  + \sqrt b  > 0\)   (1)

Mặt khác: 

\(\eqalign{
& a - b = {\left( {\sqrt a } \right)^2} - \left( {\sqrt b } \right) \cr
& ^2 = \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right) \cr} \)

Vì a < b nên a - b<0   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\sqrt a  - \sqrt b  < 0 \Rightarrow \sqrt a  < \sqrt b \)

b) \(a \ge 0;b \ge 0\) và \(\sqrt a  < \sqrt b  \Rightarrow \sqrt b  > 0\)

Suy ra: \(\sqrt a  + \sqrt b  > 0\) và \(\sqrt a  - \sqrt b  < 0\)

\(\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right) < 0\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - {\left( {\sqrt b } \right)^2} < 0 \cr
& \Rightarrow a - b < 0 \Rightarrow a < b \cr} \)