Câu 95 trang 122 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B...

Cho tam giác ABC có góc B bằng $120^\circ$, BC = 12cm, AB = 6cm. đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.

a) Tính độ dài đường phân giác BD.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh $AM \bot BD.$

Gợi ý làm bài

a) Ta có: 

$\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = {{\widehat {ABC}} \over 2} = {{120^\circ } \over 2} = 60^\circ$

Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.

Lại có:

$\widehat {BAE} = \widehat {ABD} = 60^\circ$ (so le trong)

$\widehat {CBD} = \widehat {AEB} = 60^\circ$ (đồng vị)

Suy ra tam giác ABE  đều 

$\Rightarrow AB = BE = EA = 6\,(cm)\,\,(1)$

Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)

Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:

$\eqalign{ & {{BC} \over {CE}} = {{BD} \over {AE}} \cr & \Rightarrow BD = {{BC.AE} \over {CE}} = {{12.6} \over {18}} = 4\,(cm) \cr}$

b) Ta có: 

$MB = MC = {1 \over 2}.BC = {1 \over 2}.12 = 6\,(cm)\,\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$BM = AB \Rightarrow$ ∆ABM cân tại B.

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy $BD \bot AM$