Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
HD⊥AB⇒^ADH=90∘
HE⊥AC⇒^AEH=90∘
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
AH2=HB.HC=4.9=36⇒AH=6(cm)
Vậy DE = 6 (cm)
b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Ta có:
^GDH=^GHD(1)
^GDH+^MDH=90∘(2)
^GHD+^MHD=90∘(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: ^MDH=^MHD(4)
Suy ra tam giác MDH cân tại M ⇒MD=MH(5)
Lại có: ^MDH+^MDB=90∘(6)
Advertisements (Quảng cáo)
^MBD+^MHD=90∘ (∆BDH vuong tại D) (7)
Từ (4), (6) và (7) suy ra: ^MDB=^MBD
Suy ra tam giác MBD cân tại M ⇒MB=MD(8)
Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.
*Tam giác GHE cân tại G
Ta có: ^GHE=^GEH(9)
^GHE+^NHE=90∘ (10)
^GEH+^NEH=90∘ (11)
Từ (9), (10) và (11) suy ra: ^NHE=^NEH (12)
Suy ra tam giác NEH cân tại n ⇒NE=NH (13)
Lại có: ^NEC+^NEH=90∘ (14)
^NHE+^NCE=90∘ (∆CEH vuông tại E) (15)
Từ (12), (14) và (15) suy ra: ^NDC=^NCE
Suy ra tam giác NCE cân tại N ⇒NC=NE(16)
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.
c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
DM=12BH=12.4=2(cm)
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
EN=12CH=12.9=4,5(cm)
Mà MD⊥DE và \NE \bot DE\) nên MD // NE
Suy ra tứ giác DENM là hình thang
Vậy
SDENM=DM+NE2.DE=2+4,52.6=19,5 (cm2).