Trang chủ Lớp 9 SGK Toán 9 - Kết nối tri thức Bài tập 9.31 trang 91 Toán 9 tập 2 – Kết nối...

Bài tập 9.31 trang 91 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD...

Chứng minh bốn điểm B, F, E, C thuộc đường tròn đường kính BC nên tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp. Vận dụng kiến thức giải Giải bài tập 9.31 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức - Luyện tập chung trang 90 . Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD,

Câu hỏi/bài tập:

Question - Câu hỏi/Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

+ Chứng minh bốn điểm B, F, E, C thuộc đường tròn đường kính BC nên tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

+ Chứng minh bốn điểm C, A, F, D thuộc đường tròn đường kính AC nên tứ giác CAFD là tứ giác nội tiếp.

+ Chứng minh bốn điểm B, A, E, D thuộc đường tròn đường kính BA nên tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp.

Answer - Lời giải/Đáp án

Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên \(AD \bot BC,BE \bot AC,CF \bot AB\).

Do đó, \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \widehat {BEC} = \widehat {BEA} = \widehat {AFC} = \widehat {CFB} = {90^o}\).

Vì \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\) nên tam giác BFC vuông tại F và tam giác BEC vuông tại E. Do đó, hai điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó, tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.

Vì \(\widehat {AFC} = \widehat {ADC} = {90^o}\) nên tam giác AFC vuông tại F và tam giác ADC vuông tại D. Do đó, hai điểm D, F thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó, tứ giác CAFD là tứ giác nội tiếp.

Vì \(\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = {90^o}\) nên tam giác ADB vuông tại D và tam giác AEB vuông tại E. Do đó, hai điểm E, D thuộc đường tròn đường kính BA. Do đó, tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp.