Câu hỏi/bài tập:
Cho M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE và EA của ngũ giác đều ABCDE (H.9.44). Hỏi MNPQK có phải là ngũ giác đều hay không?
+ Chứng minh ΔAMK=ΔBMN=ΔCPN=ΔDPQ=ΔEKQ(c.g.c) nên KM=MN=PN=PQ=QK.
+ Chứng minh được ^KMA=^BMN và ^KMA+^KMN+^BMN=180o⇒^KMN=180o−2^KMA.
+ Chứng minh tương tự ta có: ^NPQ=^PQK=^QKM=180o−2^KMA. Do đó, đa giác MNPQK là ngũ giác đều.
Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB=BC=CD=DE=EA, ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=ˆE
Vì M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EA.
Do đó, AM=MB=NB=NC=CP=PD=DQ=QE=EK=KA
Ta có: AM=MB=NB=NC=CP=PD=DQ=QE=EK=KA và ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=ˆE
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra: ΔAMK=ΔBMN=ΔCPN=ΔDPQ=ΔEKQ(c.g.c)
Do đó: + KM=MN=PN=PQ=QK(1).
+ ^KMA=^AKM=^BMN=^MNB=^CNP=^CPN=^DPQ=^DQP=^EQK=^EKQ
Ta có: ^KMA+^KMN+^BMN=180o (các góc kề bù)
Mà ^KMA=^BMN nên ^KMN=180o−2^KMA.
Vì ^BNM+^MNP+^PNC=180o (các góc kề bù)
Mà ^KMA=^BNM=^PNC nên ^MNP=180o−2^KMA.
Chứng minh tương tự ta có:
^NPQ=^PQK=^QKM=180o−2^KMA
Do đó, ^KMN=^MNP=^NPQ=^PQK=^QKM(2)
Từ (1) và (2) suy ra: MNPQK là ngũ giác đều.