Hoạt động 7 trang 77 Tài liệu dạy và học Toán 9 tập 2: Cho đường tròn (O; R) với hai góc ở tâm...

Cho đường tròn (O; R) với hai góc ở tâm $\widehat {AOB} = 2x$ và $\widehat {COD} = 2y$ sao cho y > x. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy chứng minh AH = R.sinx và CK = R.siny. So sánh AB và CD.

+) Xét tam giác OAB có $OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB$ cân tại O $\Rightarrow$ Đường trung tuyến OH đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc $\widehat {AOB}$

$\Rightarrow OH \bot AB$ và $\widehat {AOH} = \widehat {BOH} = \dfrac{{2x}}{2} = x$

Xét tam giác vuông OAH có: $AH = OA.\sin \widehat {AOH} = R\sin x$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có $CK = R\sin y$.

+) Vì H là trung điểm của AB $\Rightarrow AB = 2AH = 2R\sin x$

Vì K là trung điểm của CD $\Rightarrow CD = 2CK = 2R\sin y$

Do $y > x \Rightarrow \sin y > \sin x \Rightarrow 2R\sin y > 2R\sin x \Rightarrow CD > AB$.

Vậy $CD > AB$.