19. Biết rằng: Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\).
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\):
\(P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\)
\(P(x)\) chia hết cho \(x + 1\)
\( ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0\)
\(⇔-7-n=0\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
\(P(x)\) chia hết cho \(x - 3\)
\(⇔P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\)
\( ⇔36m-13n=3\) (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.
\(\left\{\begin{matrix} -7 - n = 0& & \\ 36m - 13n = 3& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = 3 + 13(-7)& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = -88& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \frac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\)