Bài 27 trang 20 sgk Toán 9 tập 2, Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:...

27. Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về  dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1& & \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.$.  Hướng dẫn. Đặt u = $\frac{1}{x}$, v = $\frac{1}{y}$;

b) $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y -1} = 2 & & \\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.$ Hướng dẫn. Đặt u = $\frac{1}{x - 2}$, v = $\frac{1}{y - 1}$.

a) Điền kiện $x ≠ 0, y ≠ 0$.

Đặt $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$ ta được hệ phương trình ẩn u, v: $\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.$

(1) ⇔ $u = 1 + v$ (3)

Thế (3) vào (2): $3(1 + v) +4v = 5$

$⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v = \frac{2}{7}$

Từ đó $u = 1 + v = 1 + \frac{2}{7}$ = $\frac{9}{7}$.

Suy ra hệ đã cho tương đương với: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} = \frac{9}{7}& & \\ \frac{1}{y} = \frac{2}{7}& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = \frac{7}{9}& & \\ y = \frac{7}{2}& & \end{matrix}\right.$

b) Điều kiện $x - 2 ≠ 0, y - 1 ≠ 0$ hay $x ≠ 2, y ≠ 1$.

Đặt $u = \frac{1}{x -2}$, $v = \frac{1}{y -1}$ ta được hệ đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.$

(1) $⇔ v = 2 - u$ (3)

Thế (3) vào (2): $2u - 3(2 - u) = 1$

⇔ $2u - 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u = \frac{7}{5}$

Từ đó $v = 2 - \frac{7}{5}$ = $\frac{3}{5}$.

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x -2} = \frac{7}{5}& & \\ \frac{1}{y -1} = \frac{3}{5}& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x -2 = \frac{5}{7}& & \\ y - 1 = \frac{5}{3}& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = \frac{5}{7}+ 2& & \\ y = \frac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = \frac{19}{7}& & \\ y = \frac{8}{3}& & \end{matrix}\right.$