Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2, Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ...

Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) $3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;            

b) ${({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$;                             

d) $\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3$

Hướng dẫn: a) Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$, ta có phương trình $3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $t$. Thay mỗi giá trị của $t$ vừa tìm được vào đằng thức $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$ , ta được một phương trình của ẩn $x$. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của $x$.

d) Đặt $\frac{x+1}{x} = t$ hoặc $\frac{x}{x+ 1} = t$

:

a) $3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$, ta có:

$3{t^2}{\rm{  - }}2t{\rm{  - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} =  - {1 \over 3}$

Với ${t_1} = 1$, ta có: ${x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}$ hay ${\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{  = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{  = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta   = \sqrt 5$

${x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}$

Với ${t_2}= -\frac{1}{3}$, ta có: ${x^2} + x =  - {1 \over 3}$hay $3{x^2} + 3x{\rm{  + }}1{\rm{  = }}0$:

Phương trình vô nghiệm, vì $\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}$

b) ${({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$, ta có phương trình ${t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Giải ra ta được ${t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 3$.

- Với ${t_1}= 2$ ta có: ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ hay ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Suy ra ${x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4$.

- Với ${t_2}= -3$, ta có: ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3$ hay ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$.

Phương trình này vô nghiệm vì $\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1} = 0, {x_2}= 4$.

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$. Điều kiện: $x ≥ 0$. Đặt $t = \sqrt{x}, t ≥ 0$

Ta có:${t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Suy ra: ${t_1}= -1$ (loại), ${t_2}= 7$

Với $t = 7$, ta có: $\sqrt{x} = 7$. Suy ra $x = 49$.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: $x = 49$

d) $\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3$. Điều kiện: $x ≠ -1, x ≠ 0$

Đặt $\frac{x}{x+ 1}$ = t, ta có: $\frac{x+1}{x}$ = $\frac{1}{t}$. Vậy ta có phương trình: $t - \frac{10}{t} – 3 = 0$

hay: ${t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Suy ra ${t_1} = 5, {t_2} = -2$.

- Với ${t_1}= 5$, ta có $\frac{x}{x+ 1} = 5$ hay $x = 5x + 5$. Suy ra $x = -\frac{5}{4}$

-  Với ${t_2} = -2$, ta có $\frac{x}{x+ 1}= -2$ hay $x = -2x – 2$. Suy ra $x = -\frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1}= -\frac{5}{4}$, ${x_2} =-\frac{2}{3}$