Bài 53 trang 60 môn Toán 9 tập 2, Tỉ số vàng. Đố em chia...

Bài 53. Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16).

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là $x$.

Giả sử$M$ là điểm chia đoạn $AB$ và $AB$ có độ dài bằng $a$.

Gọi độ dài của $AM = x, 0 < x < a$. Khi đó $MB = a - x$.

Theo đầu bài: ${{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}$ hay ${x \over a} = {{a - x} \over x}$

Giải phương trình: $x^2 = a(a - x)$ hay $x^2 + ax - a^2= 0$

$\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}$

${x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2},{x_2} = {{ - a(\sqrt 5  + 1)} \over 2}$

Vì $x > 0$ nên ${x_2}$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy $AM={{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2}$

Tỉ số cần tìm là: ${{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 2}$