Bài 59. Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Hướng dẫn làm bài:
a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\)
Đặt \(x^2 – 2x = t\). Khi đó (1) \(⇔ 2t^2+ 3t +1 = 0 \)(*)
Phương trình (*) có \(a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0\)
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm:
- Với \(t = -1\). Ta có
\(\eqalign{
& {x^2} - 2{\rm{x}} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 1 \cr}\)
- Với \(t = - {1 \over 2}\). Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& {x^2} - 2{\rm{x}} = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.1 = 4 - 2 = 2 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 2 \cr
& \Rightarrow {x_3} = {{ - \left( { - 2} \right) + \sqrt 2 } \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \cr
& {x_4} = {{ - \left( { - 2} \right) - \sqrt 2 } \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {x_2} = 1;{x_3} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2};{x_4} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2}\)
b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\)
Đặt \(x + {1 \over x} = t\) ta có phương trình: \(t^2 – 4t + 3t = 0\)
Phương trình có \(a + b + c = 1 – 4 + 3 =0\) nên có 2 nghiệm \({t_1} =1, {t_2}=3\)
Với \({t_1} =1\), ta có:
\(\eqalign{
& x + {1 \over x} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 = - 3 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm
Với \({t_2}= 3\), ta có
\(\eqalign{
& x + {1 \over x} = 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 = 5 \cr
& \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}(TM) \cr} \)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \( \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)