Bài 59. Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:
a) 2(x2−2x)2+3(x2−2x)+1=0
b) (x+1x)2−4(x+1x)+3=0
Hướng dẫn làm bài:
a) 2(x2−2x)2+3(x2−2x)+1=0
Đặt x^2 – 2x = t. Khi đó (1) ⇔ 2t^2+ 3t +1 = 0 (*)
Phương trình (*) có a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0
Vậy phương trình (*) có hai nghiệm:
- Với t = -1. Ta có
\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 1 \cr}
- Với t = - {1 \over 2}. Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.1 = 4 - 2 = 2 \cr & \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 2 \cr & \Rightarrow {x_3} = {{ - \left( { - 2} \right) + \sqrt 2 } \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \cr & {x_4} = {{ - \left( { - 2} \right) - \sqrt 2 } \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \cr}
Vậy phương trình có 4 nghiệm: {x_1} = {x_2} = 1;{x_3} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2};{x_4} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2}
b) {\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0
Đặt x + {1 \over x} = t ta có phương trình: t^2 – 4t + 3t = 0
Phương trình có a + b + c = 1 – 4 + 3 =0 nên có 2 nghiệm {t_1} =1, {t_2}=3
Với {t_1} =1, ta có:
\eqalign{ & x + {1 \over x} = 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 = - 3 < 0 \cr}
Phương trình vô nghiệm
Với {t_2}= 3, ta có
\eqalign{ & x + {1 \over x} = 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 = 5 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}(TM) \cr}
Vậy phương trình có 2 nghiệm: \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}