Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left( {{{1 – a\sqrt a } \over {1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {{{1 – \sqrt a } \over {1 – a}}} \right)^2} = 1\) với a ≥ 0 và a ≠ 1
b) \( {{a + b} \over {{b^2}}}\sqrt {{{{a^2}{b^4}} \over {{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}}}} = \left| a \right|\) với a + b > 0 và b ≠ 0
Hướng dẫn giải:
a) Biến đổi vế trái để được vế phải.
Ta có:
\(VT=\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}\)
\(= \frac{(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a)(1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}\)
\(=\frac{\left [ (1-a) +(\sqrt{a}-a\sqrt{a})\right ](1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP\)
b) Ta có:
\(VT=\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}\)
\(=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}\)
Mà \(a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b\) nên:
\(\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP\)