Bài 64 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1, Chứng minh các đẳng thức sau:...

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2} = 1$ với a ≥ 0 và a ≠ 1

b) ${{a + b} \over {{b^2}}}\sqrt {{{{a^2}{b^4}} \over {{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}}}}  = \left| a \right|$ với a + b > 0 và b ≠ 0

Hướng dẫn giải:

a) Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

$VT=\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}$

$= \frac{(1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a)(1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}$

$=\frac{\left [ (1-a) +(\sqrt{a}-a\sqrt{a})\right ](1-\sqrt{a})}{(1-a)^{2}}$

$= \frac{(1-a)(1-a)}{(1-a)^{2}}=1=VP$

b) Ta có:

$VT=\frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}$

$=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}$

Mà $a+b>0\Rightarrow |a+b|=a+b$ nên:

$\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{|a+b|}=\frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP$