Chứng minh đẳng thức \(\dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} = {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2}\) với \(a > 0,b > 0\).
Sử dụng các hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right)\); \({\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\) để biến đổi và rút gọn vế trái.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(VT = \dfrac{{a\sqrt a + b\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} \\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} \) \( = \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a – \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \sqrt {ab} \) \( = a – \sqrt {ab} + b – \sqrt {ab} \\= {\left( {\sqrt a } \right)^2} – 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\) \( = {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} = VP\) (đpcm).