Câu hỏi/bài tập:
Cho hình thoi ABCD có \(\widehat A = {60^o}\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.
+ Theo hình vẽ, ta thấy\(MBNPDQ\) là lục giác lồi.
+ Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình thoi thì \(BM = BN = DP = DQ = \frac{a}{2}.\)
+ Chứng minh tam giác AMQ và CNP là các tam giác đều nên \(MQ = AM,\,\,NP = CP\), \(\widehat {QMB} = {180^{\rm{o}}} - \widehat {QMA} = {120^{\rm{o}}}.\)
+ Chứng minh tương tự \(\widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat {DQM} = {120^{\rm{o}}}.\)
+ Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(\widehat {MBN} = \widehat {PDQ} = {180^{\rm{o}}} - \widehat A\).
+ \(MBNPDQ\) là lục giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau và do đó là lục giác đều.
Theo hình vẽ, ta thấy\(MBNPDQ\) là lục giác lồi. Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình thoi. Như vậy: \(BM = BN = DP = DQ = \frac{a}{2}.\)
Mặt khác, các tam giác cân \(AMQ\) và \(CNP\) có \(\widehat A = \widehat C = {60^{\rm{o}}}\) nên chúng là tam giác đều.
Do đó \(MQ = AM = \frac{a}{2},\,\,NP = CP = \frac{a}{2}.\) Hơn nữa \(\widehat {QMB} = {180^{\rm{o}}} - \widehat {QMA} = {120^{\rm{o}}}.\)
Tương tự, \(\widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat {DQM} = {120^{\rm{o}}}.\)
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(\widehat {MBN} = \widehat {PDQ} = {180^{\rm{o}}} - \widehat A = {120^{\rm{o}}}.\) Vậy \(MBNPDQ\) là lục giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau và do đó là lục giác đều.