Bài 6 trang 23 vở thực hành Toán 9: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong...

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

• Gọi x là số giờ để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình, y là số giờ để người thứ hai hoàn thành công việc một mình. Điều kiện: $x,y > 16$.

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Cả hai người cùng làm thì mỗi giờ được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (công việc) và hoàn thành toàn bộ công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình $16\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1$. (1)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ được $\frac{3}{x}$ (công việc); người thứ hai làm trong 6 giờ được $\frac{6}{y}$ (công việc) và khi đó cả hai chỉ hoàn thành được 25% ($= \frac{1}{4}$ công việc) nên ta có phương trình $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}$. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (I) $\left\{ \begin{array}{l}16\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$.

• Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$, ta đưa hệ (I) về dạng (II) $\left\{ \begin{array}{l}16\left( {u + v} \right) = 1\;\left( 3 \right)\\3u + 6v = \frac{1}{4}\;\left( 4 \right)\end{array} \right.$.

Giải hệ (II): Từ (3) ta có $u + v = \frac{1}{{16}}$. Thay thế giá trị này vào (4), ta được: $3\left( {u + v} \right) + 3v = \frac{1}{4}$ hay $\frac{3}{{16}} + 3v = \frac{1}{4}$, suy ra $v = \frac{1}{{48}}$. Do đó, $u = \frac{1}{{24}}$.

Từ đó, ta có: $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}$ suy ra $x = 24$; $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{{48}}$ suy ra $y = 48$.

• Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai hoàn thành trong 48 giờ.