Bài 8 trang 94 vở thực hành Toán 9 tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB...

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}$.

+ Chứng minh $\widehat {SMA} = \widehat {SNA}$, từ đó chứng minh được $\widehat {SMB} = \widehat {SNC}$.

+ Chứng minh $\Delta SMB\backsim \Delta SNC\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}}$, hay $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}$.

Vì $\widehat {SMA}$ và $\widehat {SNA}$ là các góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và cùng chắn $\overset\frown{AS}$ nên $\widehat {SMA} = \widehat {SNA}$. Từ đây suy ra $\widehat {SMB} = {180^o} - \widehat {SMA} = {180^o} - \widehat {SNA} = \widehat {SNC}$. (1)

Xét tam giác SMB và tam giác SNC, ta có:

$\widehat {SBM} = \widehat {SCN}$ (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn $\overset\frown{AS}$),

$\widehat {SMB} = \widehat {SNC}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta SMB\backsim \Delta SNC\left( g.g \right)$. Suy ra $\frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}}$, hay $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}$.