Bài 3.3 trang 33 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức: Cho góc (alpha ) thỏa mãn ({0^ circ } < alpha  < {180^ circ },,,tan...

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn ${0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = 2.$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $G = 2\sin \alpha  + \cos \alpha .$

b) $H = \frac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.$

Tính $\cos \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}}$ và $\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } .$

Ta có: ${\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + 4}} = \frac{1}{5}\,\, \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.$

$\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{1}{5}}  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.$

a) $G = 2\sin \alpha  + \cos \alpha  = 2.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{5\sqrt 5 }}{5} = \sqrt 5 .$

b) $H = \frac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} - \frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = 5.$