Giải bài 3.38 trang 43 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho góc tù $\alpha$ có $\sin \alpha  = \frac{1}{3}.$

a) Tính $cos\alpha ,\,\,\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha .$

b) Tính giá trị của các biểu thức:

$\begin{array}{l}A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right).\\B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}.\end{array}$

- Vì ${90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }$ nên $\cos \alpha  < 0,\,\,\tan \alpha  < 0,\,\,\cot \alpha  < 0.$

-  Sử dụng các công thức giá trị lượng giác của các góc bù nhau, phụ nhua để tính giá trị của biểu thức.

a)  Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\,\, \Rightarrow \,\,{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = \frac{8}{9}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \alpha  = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}.$

Ta có: $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}$ và $\cot \alpha  =  - 2\sqrt 2$

b) $A = \sin \alpha .\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) + \cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right).\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right)$

$\begin{array}{l}A = \sin \alpha .\left( { - \cot \alpha } \right) + \left( { - \cos \alpha } \right).\tan \alpha \\A =  - \cos \alpha  + \left( { - \sin \alpha } \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3} = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{3}.\end{array}$

$\begin{array}{l}B = \frac{{3\left( {\sin \alpha  + \sqrt 2 .\cos \alpha } \right) - 2}}{{\sin \alpha  - \sqrt 2 .\cos \alpha }}\\B = \frac{{3\left( {\frac{1}{3} - \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) - 2}}{{\frac{1}{3} + \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{ - 5}}{{\frac{5}{3}}} =  - 3.\end{array}$