Giải bài 4.53 trang 68 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức...

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 1,\,\,BC = 2$ và $\widehat {ABC} = {60^ \circ }.$ Tích vô hướng $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}$ bằng

A. $\sqrt 3$

B. $- \sqrt 3$

C. $3$

D. $- 3$

-   Áp dụng định lý cosin để tính $AC$: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}$

-   Áp dụng định lý sin để tính góc $\widehat {ACB}$: $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}$

-  Áp dụng công thức tính tích vô hướng của $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}$

Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$

Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}\\ \Rightarrow \,\,A{C^2} = 1 + 4 - 2.1.2.\cos {60^ \circ } = 3\\ \Rightarrow \,\,AC = \sqrt 3 \end{array}$

Áp dụng định lý sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {ABC}}}\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{1}{{\sin \overrightarrow {ACB} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sin {{60}^ \circ }}}\\ \Leftrightarrow \,\,\sin \widehat {ACB} = \frac{{\sin {{60}^ \circ }}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \,\,\widehat {ACB} = {30^ \circ }\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {ACD} = {180^ \circ } - {30^ \circ } = {150^ \circ }\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CA}  = CD.CA.\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CA} } \right) = 2.2.\cos {150^ \circ } =  - 3$

Chọn D.